Question

已知抛物线C：X²=4Y，若过M（-1，0）的直线L与抛物线C交与E,F两点，

Answer 1

x^2=4y，则y=x^2/4。
设a(x1,x1^2/4)、b(x2,x2^2/4)、l的方程为y=kx+1。
联立抛物线与直线l方程得：x^2-4kx-4=0，x1+x2=4k、x1x2=-4。
y'=x/2，l1方程为y-x1^2/4=(x1/2)(x-x1)=x1x/2-x1^2/2，即y=x1x/2-x1^2/4。
同理，l2方程为y=x1x/2-x2^2/4。
联立l1、l2方程：x1x/2-x1^2/4=x2x/2-x2^2/4，(x1/2-x2/2)x=(x1-x2)(x1+x2)/4，即x=(x1+x2)/2。
y=x1x/2-x1^2/4=x1(x1+x2)/4-x1^2/4=x1x2/4=-1，定值。

Answer 2

过M（-1，0）的直线L：y
=
ax
+
a
与X²=4Y相交，得交点方程：X²
=
4ax
+
4a，即
：X²
=
4ax
+
4a
，
X²
-4ax
-
4a
=
0
，要有两个交点：16a^2
+
16a
>0
即：a>0
或
a<-1
抛物线C：X²=4Y，导函数：y‘
=
x/2
垂直，即
y1’
*
y2‘
=
-1，即
x1*
x2
=
-4
又
X²
-4ax
-
4a
=
0
韦达定理：
x1*
x2
=
-4a
得到
-4a
=
-4
a
=
1，满足条件
a>0
或
a<-1
即：直线方程为
y
=
x
+1