Question

请问这道高数极限题目，为什么前一部分极限存在，后一部分不存在？sinx分之一在x趋向于0时

不是也一直振荡吗？求大佬解答，谢谢啦

Answer 1

x趋向于0的话三角函数是一个在-1到1之间振荡的值，这个值是有限的，有限数乘以0就是零。但是单纯的三角函数由于振荡使得没有极限，所以极限不存在。

Answer 2

没错，前后两个部分2xsin1/x与cos1/x在x趋于零的过程中一直在振荡，但前一部分的振幅是趋向于零的，后一部分的振幅保持不变，即前一部分是无穷小与有界函数的乘积为无穷小，即极限为零，后一部分振动无极限。

Answer 3

sin(1/x)也不收敛，收敛时因为乘以了x, xsin(1/x)使得“振幅”逐渐减小到0，所以收敛
而cos(1/x)的振幅始终是1

Answer 4

x是无穷小，而sin(1/x)有界，所以xsin(1/x)趋于0。

Answer 5

因|sin(1/x)|≤1,故x-->0时xsin(1/x)-->0,
而cos(1/x)不趋向于某个常数，所以它没有极限。