Question

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0的通解,

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

用积分因子法
原方程乘以(1/x),得到
lnxdy+[(y-lnx)/x]dx=0
此时满足Q‘x=P'y,是个全微分的形式.
设原函数为u(x.y),
那么u'y=lnx
所以u=∫lnxdy=ylnx+φ(x)
有因为u'x=y/x+φ‘(x)=(y-lnx)/x
所以φ‘(x)=-lnx/x
φ(x)=∫-lnx/xdx=∫-lnxdlnx= -(lnx)^2/2
所以u(x.y)=ylnx-(lnx)^2/2
所以du(x,y)=lnxdy+[(y-lnx)/x]dx=0的通解为u(x.y)=C
即ylnx-(lnx)^2/2=C