Question

初三数学竞赛。急！

求证10人中必有3人两两认识或4人两两不认识。

Answer 1

例3 连接圆周上九个不同点的36条直线染成红色或蓝色，假定有九点中每三点所确定的三角形都至少含有一条红色边，证明存在4点，其中每两点的连线都是红色的。（第八届加拿大数学奥林匹克，1976年）
分析：这个问题等价于以下命题：在二染色完全图K9中，要么存在所有边被染为蓝色的完全图K3，要么存在所有边被染为红色的完全图K4。更直接地说，就是证明R（3，4）≤9。这又是一个典型的拉姆赛型问题。
解：因为从一点引出的8条直线被染成红蓝两色，故至少有四条直线同色。
ⅰ 若有一点（设为A）引出的蓝色直线大于等于4条，并设A向点A1、A2、A3、A4引出了蓝色直线。此时，若A1A2、A1A3、A1A3、A2A3、A2A4、A3A4中任一条为蓝色，那么K9中便存在蓝色完全图K3；若A1A2、A1A3、A1A3、A2A3、A2A4、A3A4中每一条都为红色，那么就形成了一个以点A1、A2、A3、A4为顶点的红色完全图K4。所以，这种情况下命题成立。
ⅱ 每一点至少连出5条红色直线。若每一点都只连出5条红色直线，那么这九个点连出的红色直线数就不是整数，故至少有一点连出了6条红色直线。设该点为B，并设点B向点B1、B2、B3、B4、B5、B6引出了红色直线。
在考虑从点B1引出的五条直线B1B2、B1B3、B1B4、B1B5、B1B6，则至少有三条同色，设为B1B2、B1B3、B1B4。如果这三条都是蓝色的，那么以B、B2、B3、B4为顶点的完全图K4所有边都为红色，命题成立；如果这三条都为红色，考虑△B2B3B4，若每条边都为蓝色，那么就存在蓝色完全图K3；若有一边为红色，设为B2B3，则以B、B2、B3、B4为顶点的完全图K4符合要求，命题成立。
综上所述，原命题成立。

Answer 2

先看一下培训教程上的相关问题的证明思路，可以试试反正法或“抽屉原理”

Answer 3

有一个人认识另一个人，而另一个人不认识他的吗

Answer 4

咳咳...蛮难的嚎...我就不说什么了~~~

Answer 5

反证法