Question

高二数学 椭圆题目求解

有一个焦点为（-根号3，0）与（根号3，0），过（根号三/2，根号13/4）的椭圆。
过定点（0，2）的直线交椭圆于不同的A,B两点，且角AOB为直角，求直线的方程。

Answer 1

F1(-√3,0),F2(√3,0)
c=√3
a^2-b^2=c^2=3,a^2=3+b^2
椭圆过（√3/2，√13/4）
x^2/a^2+y^2/b^2=1
x^2/(3+b^2)+y^2/b^2=1
(√3/2)^2/(3+b^2)+(√13/4)^2/b^2=1
b^2=1,a^2=4
椭圆方程:x^2/4+y^2=1
直线AB:y=kx+2
x^2/4+y^2=1
x^2+4y^2=4
x^2+4(kx+2)^2=4
(1+4k^2)x^2+16kx+12=0
xA+xB=-16k/(1+4k^2)
xA*xB=12/(1+4k^2)
yA*yB
=(k*xA+2)*(k*xB+2)
=k^2*xA*xB+2k(xA+xB)+4
过定点（0，2）的直线交椭圆于不同的A,B两点，且角AOB为直角
AO⊥BO
k(AO)*k(BO)=-1
(yA/xA)*(yB/xB)=-1
xA*xB+yA*yB=0
xA*xB+k^2*xA*xB+2k(xA+xB)+4=0
12/(1+4k^2)+k^2*[12/(1+4k^2)]+2k*[-16k/(1+4k^2)]+4=0
k^2=4
k=±2
直线的方程有2条:
y=±2x+2