Question

设α1，α2，α3,α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

证明α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1也是Ax=0的基础解系。刘老师您好。请问这个如何证明？结论成立么？

Answer 1

首先题目应该交代了α1，α2，α3, α4为Ax=0的基础解系。
可见α1，α2，α3, α4为Ax=0的基础解中的极大线性无关组，秩为4.
证明：1.证明α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1认为Ax=0的解；
A（α1+α2）=Aα1+ Aα2=0+0=0，显然α1+α2为Ax=0的解，同理可证其他向量也为Ax=0的解。
2.或者证明α1，α2，α3, α4和α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1为等价向量组
或者证明α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1为线性无关组。
我们采用第二种证明方法：
设c1（α1+α2）+c2(α2+α3)+c3( α3+α4)+c4(α4+α1)=0
整理得(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0
由α1，α2，α3, α4线性无关可得
c1+c4=0
c1+c2=0
c2+c3=0
c3+c4=0
解方程组得c1=c2=c3=c4=0.从而α1+α2，α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关
又由于其为Ax=0的解，所以其为Ax=0的基础解系。
证毕！