Question

已知函数f(x)=10^x,对于实数m,n,p,有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),则p的最大值等于？

已知函数f(x)=10^x,对于实数m,n,p,有f(m+n)=f(m)+f(n),f(m+n+p)=f(m)+f(n)+f(p),则p的最大值等于？
要解题过程！谢谢！

Answer 1

由f(x)=10^x得到，f(m+n)=f(m)f(n)，
因为，f(m+n)=f(m)+f(n),
所以f(m)f(n)=f(m)+f(n)
设f(m)f(n)=f(m)+f(n)=t
那么f(m),f(n)是x^2-tx+t=0的解。
因为Δ=t^2-4t>=0，
得到t>=4 (t<=0已舍去）

由于，f(m+n+p)=f(m)f(n)f(p)=f(m)+f(n)+f(p)
得到tf(p)=t+f(p)
所以f(p)=t/(t-1),
很容易看出，t越大，f(p)越小，所以当t=4时，
f(p)取最大值4/3.
此时p取到最大值，p(max)=lg(3/4)