等边三角形ABC D是BC的中点 E在AB上 在三角形ABC内部作等边三角形DEF,连接AF,求证AF=EF
这个题目，网上有许多人提问，但都没有回答，或回答不正确。
证明：如图，做辅助线：
1，取AB，AC的中点M，N，连接MN，MD，ND；
2，在AB上任取一点E，连接DE，在MN上取点F，使得∠EDF=60°，连接EF；
3，连接AF，AD，AD和MN交于G
a，证明：⊿DMN是等边三角形
∵⊿ABC是等边三角形（已知）
∴AB=AC=BC（等边三角形的各边相等）
∵M，N，D是⊿ABC各边的中点（所做，已知）
∴MN=1/2BC,MD=1/2AC,ND=1/2AB（三角形中位线等于底边的一半）
∴MN=MD=ND=1/2a（等量公理）
∴⊿DMN是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）……题目要求的等边⊿DEF的特殊形式
b，证明：⊿BMD是等边三角形
∵BM=1/2AB，BD=1/2BC（所做，已知）
∴BM=BD=MD=1/2a（等量公理）
∴⊿BMD是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）
c，证明：⊿EMD≌⊿FDN，DE=DF，⊿DEF是等边三角形
∵∠EDF=60°（所做）
∴∠EDM=∠FDN=60°-∠MDF（等量公理）
∵∠BMD=∠MND=60°（等边三角形的内角为60度，见a，b）
∴⊿EMD≌⊿FDN（两角夹边相等，两三角形全等）
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）
∴∠DEF=∠DFE=(180°-∠EDF)/2=(180°-60°)/2=60°（三角形中，等边对等角，内角和等于180度）
∴⊿DEF是等边三角形（内角相等的三角形是等边三角形）……题目要求的等边⊿DEF
∴题目要求的F点一直在中位线MN上！
d,证明：AF=EF
∵AD⊥BC（等边三角形各边的中线和垂线重合），MN∥BC（三角形中位线平行于底边）
∴AD⊥MN（一条直线垂直于另一条直线，也垂直于它的平行线）
∴AG=DG（平行线等分线段定理）
∴AF=DF（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∵EF=DF（等边三角形的边相等）
∴AF=EF（等量公理）
