Question

关于Stolz定理的问题

为什么要求做分母的数列严格单增啊，Stolz定理是离散状态的洛必达法则，为什么洛必达法则就没有这个要求啊。

Answer 1

首先, Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的.
取a[n] = n, b[n] = n+(-1)^n·√n.
则易见n → ∞时, b[n] → +∞, 同时(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) → 0.
然而a[n]/b[n] → 1 ≠ 0.

其次, L'Hospital法则其实隐含了单调性的条件.
因为其要求g'(x)在极限点的某邻域内不得0,
但导函数具有介值性(Darboux定理),
因此g'(x)在极限点的某邻域内恒正或恒负, 即得g(x)单调.

所以这两个定理在这方面仍然是一致的.

追问

有反例我知道了，但是我不知道造成这种情况的根本原因是什么，还有洛必达法则中无穷大除以无穷大型对单调性有要求吗

追答

前面说了, 在某邻域内g'(x) ≠ 0蕴含单调性.
∞/∞型也需要这个条件, 所以也需要单调性.

不过, 有的时候不会特别强调g'(x) ≠ 0这个条件.
这是因为f'(x)/g'(x)极限存在的前提包括g'(x) ≠ 0.
(极限有定义, 要求f'(x)/g'(x)在某去心邻域内处处有定义).
所以凡是能使用L'Hospital法则的情形, 都隐含这个前提.
进而隐含g(x)在某邻域内单调的条件.

与此不同, 在Stolz定理中,
(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n])极限的存在性,
并不能推出b[n]的单调性.
因为b[n]由减转增并不一定要经历b[n+1]-b[n] = 0的状态,
(但g'(x)由负变正必须经过g'(x) = 0的状态)
这一点上离散与连续情形出现了差别.

作为结果, Stolz定理需要以b[n]严格单调为明确前提,
但L'Hospital法则可以将其隐含于极限存在的条件中.
(不过为了明确, 一般还是会写出g'(x) ≠ 0的).
不知这样说是否解答了你的疑问?

Answer 2

O'Stolz定理　　设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞（以下lim均表示lim(n-->；∞））
　　则有：
　　若lim(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)=L(L可以是0,有限数，或+∞（-∞））
　　==>lim(An)/(Bn)=L
　　证明如下：
　　1）当L=0时；
　　由条件得：
　　对任意e>0 存在N使 当n>N时有：
　　|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e，即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;
　　又Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞，
　　原式化为：|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......⑴；
　　固定e，则存在N1>=N，当n>N1时，有
　　-e*BN+|AN|<e*Bn
　　即|AN|<e*(BN+Bn) ..........⑵重要！！！！！
　　|An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|，代入⑴式，得：
　　<=e*(Bn-Bn-1）+.....+e(BN+1-BN)+|AN|，代入⑵式，得：
　　<e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)
　　即|An|<2e*Bn
　　故|(An)/(Bn)-0|<2e
　　由数列定义知lim(An)/(Bn)=0
　　2）当L=C (C!=0）时
　　即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,
　　令Cn=An-C*Bn,
　　显然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,
　　由1）得：
　　故lim(Cn)/(Bn)=0,
　　即有lim(An)/(Bn)=C,
　　3）当L=+∞（L=-∞时类证）时
　　存在N，当n>N时
　　有（An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1
　　得出An>Bn>0，且满足An>0递增且有n-->+∞时An-->+∞
　　所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即从正数趋近于0)
　　由1）得：
　　lim(Bn)/(An)=0+
　　故lim(An)/(Bn)=+∞
　　证毕
　　PS：手都打软了 问了N久都没有人会！！！！求人不如求己！！！!!

Answer 3

逆命题应该是不成立的。
假设an = 1/n bn = 1/(n+1),很明显

追问

我想问的是为什么分母必须单增