Question

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn?12)．（1）求Sn的表达式；（2）设bn=2nSn，求{

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn?12)．（1）求Sn的表达式；（2）设bn=2nSn，求{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

解　（1）∵S_n²=a_n(Sn?

1

2

)，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）(Sn?

1

2

)，
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由题意S_n-1?S_n≠0，
将①式两边同除以S_n-1?S_n，得

1

Sn

-

1

Sn?1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是首项为

1

S1

=

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
可得

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=

1

2n?1

；
（2）由（1）得

1

Sn

=2n-1，
∴bn＝

2n

Sn

＝(2n?1)?2n
因此，

Tn＝1×2+3×22+5×23+…(2n?1)2n

两边都乘以2，得

2Tn＝ 1×22+3×23+…(2n?3)2n+(2n?1)2n+1

两式相减，得

?Tn＝2+2(22+23+…+2n)?

（2n-1）?2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）?2ⁿ⁺¹+6-2?2ⁿ⁺¹
化简得

Tn＝(2n?3)?2n+1+6

．