Question

若α∈[0，π]，β∈[-π4，π4]，λ∈R，且（α-π2）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（α2

若α∈[0，π]，β∈[-π4，π4]，λ∈R，且（α-π2）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（α2+β）的值为______．

Answer 1

∵4β³+sinβcosβ+λ=0，∴（-2β）³-2sinβcosβ-2λ=0，即  （-2β）³+sin（-2β ）-2λ=0．
再由 （α-

π

2

）³-cosα-2λ=0，可得 （α-

π

2

）³ +sin（α-

π

2

）-2λ=0．
故-2β和α-

π

2

是方程 x³+sinx-2λ=0 的两个实数解．
再由α∈[0，π]，β∈[-

π

4

，

π

4

]，所以

π

2

-α 和2β的范围都是[-

π

2

，

π

2

]，
由于函数 x³+sinx 在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增，故方程 x³+sinx-2λ=0在[-

π

2

，

π

2

]上只有一个解，
所以，

π

2

-α=2β，∴

α

2

+β=

π

4

，∴cos（

α

2

+β）=

2

2

．
故答案为

2

2

．