Question

设点P（x，y）到直线x=2的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的

设点P（x，y）到直线x=2的距离与它到定点（1，0）的距离之比为2，并记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设M（-2，0）的，过点M的直线l与曲线C相交于E，F两点，当线段EF的中点落在由四点C1（-1，0），C2（1，0），B1（0，-1），B2（0，1）构成的四边形内（不包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

解答：解：（I）∵点P（x，y）到直线x=2的距离与它到定点（1，0）的距离之比为

2

，
∴

|x?2|

(x?1)2+y2

＝

2

∴

x2

2

+y2＝1
∴曲线C的方程为

x2

2

+y2＝1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），线段EF的中点G（x₀，y₀），
直线方程代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0
由△＞0，可得?

2

2

＜k＜

2

2

∵x₁+x₂=

?8k2

1+2k2

，∴x₀=

?4k2

1+2k2

，y₀=

2k

1+2k2

∵x₀=

?4k2

1+2k2

≤0，∴点G不可能在y轴的右边
∵直线C₁B₂，C₁B₁的方程为y=x+1，y=-x-1
∴点G在正方形内的充要条件为

y0＜x0+1 y0＞?x0?1

，即

2k2+2k?1＜0 2k2?2k?1＜0

∴?

3 ?1

2

＜k＜

3 ?1

2

．
综上可知，?

3 ?1

2

＜k＜

3 ?1

2

．