Question

已知函数f（x）=log 2 （1-x）-log 2 （1+x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（

已知函数f（x）=log 2 （1-x）-log 2 （1+x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x 0 ，请求出一个长度为 1 4 的区间（a，b），使x 0 ∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度=b-a）．

Answer 1

（1）要使函数有意义，则 1-x＞0 1+x＞0 ， ∴-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1） （2）∵f（-x）=log 2 （1+x）-log 2 （1-x）=-f（x）， ∴f（x）为奇函数． （3）由题意知方程f（x）=x+1?log 2 （1-x）-log 2 （1+x）=x+1，可化为（x+1）2 x+1 +x-1=0 设g（x）=（x+1）2 x+1 +x-1，x∈（-1，1） 则 g(- 1 2 )= 1 2 × 2 1 2 - 1 2 -1= 2 -3 2 ＜0 ，g（0）=2-1=1＞0， 所以 g(- 1 2 )g(0)＜0 ，故方程在 (- 1 2 ，0) 上必有根； 又因为 g(- 1 4 )= 3 4 × 2 3 4 - 1 4 -1= 3 4 8 -5 4 = 4 648 - 4 625 4 ＞0 ， 所以 g(- 1 2 )g(- 1 4 )＜0 ，故方程在 (- 1 2 ，- 1 4 ) 上必有一根． 所以满足题意的一个区间为 (- 1 2 ，- 1 4 ) ．