Question

设a∈R，函数f（x）=x2e1-x-a（x-1）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在（34，2）内的极大值；（Ⅱ）设函数g（x

设a∈R，函数f（x）=x2e1-x-a（x-1）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在（34，2）内的极大值；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+a（x-1-e1-x），当g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，总有x2g（x1）≤λf′（x1），求实数λ的值．（其中f′（x）是f（x）的导函数．）

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²e^1-x-（x-1），则f'（x）=（2x-x²）e^1-x-1=

(2x?x2)?ex?1

ex?1

，
令h（x）=（2x-x²）-e^x-1，则h'（x）=2-2x-e^x-1，
显然h'（x）在（

3

4

，2）内是减函数，
又因h'（

3

4

）=

1

2

?

1

4 e

＜0，故在（

3

4

，2）内，总有h'（x）＜0，
∴h（x）在（

3

4

，2）上是减函数，
又因h（1）=0，
∴当x∈（

3

4

，1）时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，这时f（x）单调递增，
当x∈（1，2）时，h（x）＜0，从而f'（x）＜0，这时f（x）单调递减，
∴f（x）在（

3

4

，2）的极大值是f（1）=1．                      
（Ⅱ）由题意可知g（x）=（x²-a）e^1-x，则g'（x）=（2x-x²+a）e^1-x=（-x²+2x+a）e^1-x．                   
根据题意，方程-x²+2x+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴△=4+4a＞0，即a＞-1，且x₁+x₂=2，∵x₁＜x₂，∴x₁＜1．
由x₂g（x₁）≤λf′（x₁），其中f'（x）=（2x-x²）e^1-x-a，
可得（2-x₁）（x12?a）e1?x1≤λ[(2x1?x12)e1?x1?a]，
注意到?x12+2x1+a＝0，
∴上式化为（2-x₁）（2x₁）e1?x1≤λ[(2x1?x12)e1?x1+(2x1?x12)]，
即不等式x1[2e1?x1?λ(e1?x1+1)]≤0对任意的x₁∈（-∞，1）恒成立，
（i）当x₁=0时，不等式

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