Question

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 是奇函数．（a＞0，且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）

已知函数f（x）=log a 1-mx x-1 是奇函数．（a＞0，且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

（1）由f（x）=log a 1-mx x-1 是奇函数得 f（-x）=-f（x） 即log a   1-mx x-1 +log a   mx+1 -x-1 =0 log  a   1- m 2 x 2 1- x 2 =0即m=-1（m=1舍去） （2）由（1）得，f（x）=log a   x+1 x-1 （a＞0，a≠1）， 任取x 1 ，x 2 ∈（1，+∞），且x 1 ＜x 2 ，令t（x）= x+1 x-1 ， 则t（x 1 ）-t（x 2 ）= x 1 +1 x 1 -1 - x 2 +1 x 2 -1 = 2( x 2 - x 1 ) ( x 1 -1)( x 2 -1) ∵x 1 ＞1，x 2 ＞1，x 1 ＜x 2 ∴x 1 -1＞0，x 2 -1＞0，x 2 -x 1 ＞0 ∴t（x 1 ）＞t（x 2 ） ∴当a＞1时，log a   x 1 +1 x 1 -1 ＞log a x 2 +1 x 2 -1 ， f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数． （3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞）， 1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分） 所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分） 即log a 1+a-2 a-2-1 =log a a-1 a-3 =1，即 a-1 a-3 =a，…（16分） 所以a=2+ 3 且r=1 …（18分） 2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合， 所以a=2+ 3 且r=1．