Question

已知f(x)＝x 3 －6x 2 ＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0

已知f(x)＝x 3 －6x 2 ＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0； ②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．

Answer 1

②③

∵f′(x)＝3x 2 －12x＋9＝3(x－1)(x－3)， 由f′(x)<0，得1<x<3， 由f′(x)>0， 得x<1或x>3， ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0， ∴y 极大值 ＝f(1)＝4－abc>0， y 极小值 ＝f(3)＝－abc<0. ∴0<abc<4. ∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.