Question

（2010?东城区模拟）已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的

（2010?东城区模拟）已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．

Answer 1

证明：（1）连接AB，OA，OF；
∵F是BE的中点，
∴FE=BF．
∵OB=OC，
∴OF∥EC．
∴∠C=∠POF．
∴∠AOF=∠CAO．
∵∠C=∠CAO，
∴∠POF=∠AOF．
∵BO=AO，OF=OF，
∴∠OAP=∠EBC=90°．
∴PA是⊙O的切线．
（2）∵BE是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，
∴BF=AF=3，
∴BE=6．
∵BC=8，∠CBE=90°，
∴CE=10．
∵BE是⊙O的切线，
∴EB²=AE?EC．
∴AE=3.6．