Question

已知fx是定义在R上的偶函数,gx是定义在R上的奇函数,且gx=f(x-1),g(3)＝1,则f(2014)=?

祝回答者，万事如意，身体健康，长命百岁，生意兴隆。

Answer 1

f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）
g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x）
因为g（x）=f（x-1），所以g（-x）=f（-x-1）=-g（x）=-f（x-1）
而f（-x-1）=f（-（x+1））=f（x+1）
所以f（x+1）=-f（x-1）
令t=x+1，则x=t-1
f（t）=-f（t-1-1）=-f（t-2）
而f（t-2）=-f（（t-2）-2）=-f（t-4）
所以f（t）=-f（t-2）=f（t-4）
即f（x）=f（x+4）
g（3）=f（3-1）=f（2）=1
f（2014）=f（2+4*503）=f（2）=1

追问

所以f（t）=-f（t-2）=f（t-4）
即f（x）=f（x+4）
请问：f（x+4）？ 不是减4？

追答

f（t）=f（t-4）
令m=t-4，则t=m+4
则f（m+4）=f（m）
再把m换成x
所以f（x）=f（x-4）成立
那么f（x）=f（x+4）也就成立了。
这是个周期函数，4是它的一个周期。