Question

求幂级数收敛区间

Answer 1

　　解：1小题，原式=∑(3^n/n)x^n+∑(3^n/n)x^n。
　　对∑(3^n/n)x^n，有ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=3lim(n→∞)n/(n+1)=3，∴收敛半径R1=1/ρ=1/3。而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)丨x丨/R1<1，∴丨x丨<R1=1/3，即-1/3<x<1/3。同理，对∑(5^n/n)x^n，有-1/5<x<1/5。
　　∴级数收敛区间为，{x丨-1/3<x<1/3}∩{x丨-1/5<x<1/5}={x丨-1/5<x<1/5}。当x=-1/5时，是交错级数，满足莱布尼兹判别法条件，收敛；当x=1/5时，为p=1的p-级数，发散。
　　∴级数收敛区间为{x丨-1/5≤x<1/5}。
　　(2)小题，∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=(1/2)lim(n→∞)(n+1)/n=1/2，∴收敛半径R=1/ρ=2。而lim(n→∞)丨Un+1/Un丨=lim(n→∞)x^2/R<1，∴丨x丨<√R=√2，即-√2<x<√2。
　　当x=±√2时，级数发散。∴级数收敛区间为{x丨-√2<x<√2}。
　　供参考。

Answer 2

1、[-1/5,1/5)
2、[-\sqrt{2},+\sqrt{2})

追问

详细过程？

追答

1、将级数拆成两个级数考虑
\mid 5x\mid<1推出-1/5<x<1/5收敛区间
再考虑端点得到：x=-1/5时收敛，x=1/5时发散
同理\mid 3x\mid<1推出-1/3<x<1/3收敛区间
再考虑端点得到：x=-1/3时收敛，x=1/3时发散
取两个级数收敛区间的交就得到所要求解的级数的收敛区间为[-1/5,1/5)
2、同理可解。