Question

证明：设n是大于1的自然数，证明1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数。

Answer 1

假定n>1（n=1时结论不成立）
假设1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=M为整数，现在来推出矛盾。
设P=[1,
2,
…,
n]为1、2、……、n的最小公倍数（不是取n!），用P乘以上式两边，
P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*M，
………………①
设k是满足2^k≤n的最大正整数，即2^k≤n<2^(k+1)。
显然2^k|P*M
(n≥2,
2^k|P)。
下面证明P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P/1+P/2+…+P/n不是2^k的倍数，甚至不是2的倍数。
显然P*1/i是整数（i=1,
2,
…
.
n）。
把P分解因数，其中质因数2出现的次数为k（2^k≤n<2^(k+1)，所以2^k|P；又因为P是最小公倍数，所以P的因数中恰好含有k个2）。故P/2^k不再含素因子2，即为奇数。
P/1、P/2、…、P/n这些数中，除P/2^k外，其余各项都是2的倍数（因为分母的质因数中至多含有(k-1)个2，而分子含有k个2）。故P/1+P/2+…+P/n不是2的倍数（其中只有1个奇数，其余都是偶数）。这与①式右边为偶数矛盾！