Question

讨论级数的敛散性，如图？

Answer 1

函数级数收敛问题，一道远超考研范围的题
函数级数除了在 x=kπ 这些点绝对收敛，因为通项为 0 。在其他点处敛散性讨论不简单，
taojl2006 的解析不正确：“把sin(nx)/n 乘到括号内”，而括号内是一个求和形式，这是一个调和数列，1+1/2+1/3+……+1/n ~ lnn+γ，taojl2006 没有去求通项中的和，居然把 lnn “放大为”1/k，可以说是倒转了乾坤，即使这样，也不能用 1/k² 来判断敛散性，而应该用1/n² 来判断敛散性
即使把 1/2+1/3+……+1/n 全部略去或者说把 1、1/2、1/3、……、1/n 每一个都看成 1/n，那一串和式也最少是 1，
函数级数通项 an(x) ~ (lnn+γ)*(sinnx)/n，可以考虑绝对值递减趋于 0 的交错级数
若 x 为一个有理数与 π 的乘积比较好办，比如 x=kπ+qπ/p (正整数 p>q，p、q 互质)
令 n=2mp+i，i=1，2，……，2p，m=0，1，2，……
因为级数的敛散性与任何确定的前有限项无关，将 m 取得足够大，比如 P^2 或 P^3，可以证明条件收敛
若 x 为一个无理数与 π 的乘积或 x 就是一个有理数，比如 √2π 或 1，怎么办？
因为有理数、无理数、实数都是稠密的，对于任意 x 都可以找到足够大的 p 和适当的 k、q 使 kπ+qπ/p<x<kπ+(q+1)π/p，且区间长度 [kπ+(q+1)π/p]-[kπ+qπ/p]足够小，最后可以找到足够大的 m 使 级数按正负分段求和后条件收敛
上面只是分析，要用数学语言符号写出这个问题的证明，路还长着

Answer 2

把sin(nx)/n 乘到括号内，然后利用比较法可得原级数收敛。考察一般项，|sin(nx)/kn |≤1/k² k=1.2.3......n, 而级数 1/k²收敛，因此根据比较审敛法可知，原级数收敛。

Answer 3