Question

证明:任一实系奇次方程至少有一个根

Answer 1

单调性的角度来说，最高次项为奇数的函数，不妨设这个最高次项的系数为正的（如果为负的话，后面的单调性反过来就是了）。

在自变量取值充分大的时候，肯定会急剧递增；在自变量取值充分小的时候，也会急剧递减．所以，函数在负无穷到正无穷的总体趋势，函数值一定是从负无穷递增到正无穷。

因此，必然会存在函数曲线与x轴的交点，所以必然至少有一个实根．复数的角度来说，一个n次代数方程，肯定存在n个复数根（实数视为虚部为0的复数）。

其中不是实数的虚数根，总是和其共轭复数成对出现．也就是说，如果a＋bi是一个代数方程的根，那么a－bi也一定是这个方程的根．所以，只要有虚数根，那就只能有双数个。

因此，n个根中至少有一个是实数根。

扩展资料

举例：

设f(x)是一个实系数奇数次多项式，则

x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以存在X1＞0，使得f(x1)＞0。

x→－∞时，f(x)→－∞，所以存在X2＜0，使得f(x2)＜0。

f(x)在[X2.X1]上连续,由零点定理，至少存在一点ξ∈(X2,X1)，使得f(ξ)＝0，即方程f(x)＝0至少有一个实数根。

用代数的方法证明：在实数域内分解多项式f(x)时，因为代数方程的复数根是成对出现的，且多项式是奇数次的，所以f(x)至少可以分解出一个一次因式，所以方程至少有一个实数根。