Question

z变换的基本公式

Answer 1

z变换的基本公式是a \cdot x[n] + b \cdot y[n] \stackrel{Z}{\longrightarrow} a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)。

1、位移定理。

如果x[n]是一个离散时间序列，那么有：x[n-k] \stackrel{Z}{\longrightarrow} z^{-k} X(z)

2、等比数列和式公式。

\sum_{n=0}^{\infty} a^n = \frac{1}{1-a}其中，|a|<1。

3、倍增公式。

\frac{1}{1-a z^{-1}} = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n}其中，|a|<1。

4、差分公式。

X(z) - z^{-1} X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (x[n]-x[n-1])z^{-n}，其中，*表示卷积运算符。

z变换的介绍：

Z变换可将时域信号（即离散时间序列）变换为在复频域的表达式。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。

离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，把线性移（时）不变离散系统的时域数学模型——差分方程转换为Z域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化，还可以利用系统函数来分析系统的时域特性、频率响应及稳定性等。

Z变换具有许多重要的特性：如线性、时移性、微分性、序列卷积特性和复卷积定理等等。这些性质在解决信号处理问题时都具有重要的作用。其中最具有典型意义的是卷积特性。