Question

已知 关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0． （1）求证：无论k取什么实数值，该

方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a=
31
，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

Answer 1

你好：
解：
1）两个不相等的实根，必须是△>0
于是，需要探究b²-4ac与0的关系；
即(2k+1)²-4(4k-3)
=4k²+4k+1-16k+12
=4k²-12k+13
针对迟尘这个二次方程验证一下△的码雀禅岁顷正负
12*12-4*4*13=144-208=-64<0
证明4k²-12k+13=0这个方程无解。并且可以知道图像开口向上，也就是图像所所有的点都在x轴上方。如此可证4k²-12k+13永远大于0。即原方程不论k取什么实数值总有两个不相等的实数根。
2）
根据勾股定理，得b²+c²=a²
即，(b+c)²-2bc=31².....(1)
因为bc为方程两个根。那么可以根据公式x1+x2=-b/a；x1*x2=c/a
b+c=2k+1
bc=4k-3
代入到(1)中，得
4k²+4k+1-8k+6=961，在根据万能公式求解K。

疑问：请问题目中a的值是31吗？

追问

是根号31 根号怎么没打出来~~

追答

哦，那就对了。a²=31

上述(1)式变为(b+c)²-2bc=31....（1）

因为b、c为方程两个根。那么可以根据公式x1+x2=-b/a；x1*x2=c/a
b+c=2k+1
bc=4k-3
代入到(1)中，得
4k²+4k+1-8k+6=31

化简：k²-k-6=0

(k-3)(k+2)=0；k=3或-2（舍，因为三角形边长不能小于0）

k=3带回原方程，求得b+c=7

于是，周长C=a+b+c=7+根号31