Question

已知函数f（x）=（2-a）lnx+1x+2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）

已知函数f（x）=（2-a）lnx+1x+2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+

1

x

，f′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x?1

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0；
当x≥

1

2

时，f′（x）＞0
又∵f（

1

2

）=2-ln2
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．

（Ⅱ）f′（x）=

2?a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2?a)x?1

x2

当a＜-2时，-

1

a

＜

1

2

，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

，
令f′（x）＞0 得-

1

a

＜x＜

1

2

；
当-2＜a＜0时，得-

1

a

＞

1

2

，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

，
令f′（x）＞0 得

1

2

＜x＜-

1

a

；
当a=-2时，f′（x）=-

(2x?1)2

x2

≤0，
综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，-

1

a

）和（