Question

已知定义域为R的函数f（x）=?2x+12x+1+a是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并求其值

已知定义域为R的函数f（x）=?2x+12x+1+a是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并求其值域；（3）解关于t的不等式f（t2-2t）+f（2t2-1）＜0．

Answer 1

（1）因为f（x）是奇函数，
f(1)＝?f(?1)知

?2+1

4+a

＝?

? 1 2 +1

1+a

，
解得a=2．
经检验，当a=2时，函数f（x）是奇函数．
（2）由（1）知f(x)＝

?2x+1

2x+1+2

＝?

1

2

+

1

2x+1

．
由上式易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
由于函数f（x）的定义域为R，
所以2^x＞0，2^x+1＞1，
因此0＜

1

2x+1

＜1，
所以?

1

2

＜?

1

2

+

1

2x+1

＜

1

2

，
即函数f（x）的值域为(?

1

2

，

1

2

)．
（3）因f（x）是奇函数，
从而f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0可化为
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是减函数，由上式推得
t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0，
解不等式可得{t|t＞1，或t＜?

1

3

}．