Question

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E、F．如图①．（1

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E、F．如图①．（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论．图①BE、DF、EF的数量关系为______．图②BE、DF、EF的数量关系为______．图③BE、DF、EF的数量关系为______．（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

Answer 1

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中，

∠ABE＝∠DAF ∠AEB＝∠DFA＝90° AB＝AD

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF，AF=BE，
如图①，∵AF=AE+EF，
∴BE=DF+EF，
如图②，∵AE=AF+EF，
∴DF=BE+EF，
如图③，∵EF=AE+AF，
∴EF=DF+BE．
故答案为：BE=DF+EF；DF=BE+EF；EF=DF+BE．