Question

设f（x）在[0，1]连续，且单调减少，f（x）＞0，证明：对于满足0＜α＜β＜1的任何α，β，有β∫α0f（x

设f（x）在[0，1]连续，且单调减少，f（x）＞0，证明：对于满足0＜α＜β＜1的任何α，β，有β∫α0f（x）dx＞α∫βαf（x）dx．

Answer 1

令：F(x)＝x

∫

α 0

f(t)dt?α

∫

x α

f(t)dt（x≥α），
则：F(α)＝α

∫

α 0

f(t)dt＞0．
倘若f（x）不是严格单调的，则易知f（x）为一个常量，从而很容易判断不等式成立；
下面考虑f（x）严格单调减少，
所以：F′(x)＝

∫

α 0

f(t)dt?αf(x)=

∫

α 0

[f(t)?f(x)]dt＞0，（这是因为t≤α≤x）．
从而F（x）严格单调增加，
故有：F（β）＞F（α）＞0，
即：β

∫

α 0

f(x)dx＞α

∫

β α

f(x)dx．