Question

四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为______

四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为______．

Answer 1

如图所示， 在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中点P，BC的中点E，连接BP，EP，CP， 易证AD⊥平面BPC，所以V A-BCD = 1 3 S△BPC×AD= 1 3 × 1 2 ×a× a 2 - x 2 4 - a 2 4 ×x= 1 12 a × (3 a 2 - x 2 ) x 2 = 1 12 a × -( x 2 - 3a 2 ) 2 + 9 a 4 4 ≤ 1 8 a 3 ， 当且仅当 x 2 = 3 2 a 2 ，即x= 6 2 a 时取等号． 故答案为： 1 8 a 3 ，