Question

利用单调性的定义证明函数f(x)＝?2x+1在区间[0，2]上是增加的

利用单调性的定义证明函数f(x)＝?2x+1在区间[0，2]上是增加的．

Answer 1

• 答题：

• 单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 

• 判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； 

②作差f（x1）-f（x2）或作商f（x1）÷f（x2） ，并变形；

③判定②中差的符号，或比较②中商与1的大小； 

④根据定义作出结论。

注意，作商时f（x2）不能等于0

（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。

（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

Answer 2

证明：设x₁，x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

2

x1+1

-（-

2

x2+1

）=

2

x2+1

-

2

x1+1

=

2(x1?x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵0≤x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间[0，2]上是增函数．