设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-1)=0,若不等式x1f(x1)?x2f(x2)x1?x2<0对区间(-∞,0)内任意两

设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-1)=0,若不等式x1f(x1)?x2f(x2)x1?x2<0对区间(-∞,0)内任意两个不相等的实数x1,x2都成立,则不等式x... 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(-1)=0,若不等式x1f(x1)?x2f(x2)x1?x2<0对区间(-∞,0)内任意两个不相等的实数x1,x2都成立,则不等式xf(2x)<0解集是______. 展开
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知道答主
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解:∵
x1f(x1)?x2f(x2)
x1?x2
<0
对区间(-∞,0)内任意两个不相等的实数x1,x2都成立,
∴函数g(x)=xf(x)在(-∞,0)上单调递减,
又 f(x)为奇函数,∴g(x)=xf(x)为偶函数,
g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0,
作出g(x)的草图如图所示:
xf(2x)<0即2xf(2x)<0,g(2x)<0,
由图象得,-1<2x<0或0<2x<1,解得-
1
2
<x<0或0<x
1
2

∴不等式xf(2x)<0解集是(?
1
2
,0)∪(0,
1
2
),
故答案为:(?
1
2
,0)∪(0,
1
2
).
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