Question

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2an，cn=1bnbn+1，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由题意知，2a_n=S_n+2，a_n＞0．
当n=1时，2a₁=a₁+2，∴a₁=2，
当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1，整理，得

an

an?1

=2．
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n=a₁?2^n-1=2×2^n-1=2ⁿ
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ，则bn＝log22n＝n，
∴cn＝

1

bnbn+1

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

故 Tn＝c1+c2+…+cn＝(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．