Question

设命题p：|4x-3|≤1和命题q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若?p是?q的必要而不充分条件．（1）p是q的什么条

设命题p：|4x-3|≤1和命题q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若?p是?q的必要而不充分条件．（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）因为┐p是┐q的必要而不充分条件，
其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，
即p是q的充分不必要条件；
（2）∵|4x-3|≤1，
∴

1

2

≤x≤1．   
解x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．
因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，
即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．
∴[

1

2

，1]?[a，a+1]．
∴a≤

1

2

且a+1≥1，得0≤a≤

1

2

．
∴实数a的取值范围是：[0，

1

2

]．

Answer 2

（1）因为┐p是┐q的必要而不充分条件，
其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，
即p是q的充分不必要条件；
（2）∵|4x-3|≤1，
∴

1

2

≤x≤1．   
解x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．
因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，
即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．
∴[

1

2

，1]?[a，a+1]．
∴a≤

1

2

且a+1≥1，得0≤a≤

1

2

．
∴实数a的取值范围是：[0，

1

2

]．