已知xy=x+y+1,求x²＋y²的最小值
展开全部
若x>0、y>0，则
依均值不等式得
x+y+1=xy≤[(x+y)/2]²，
即(x+y)²-4(x+y)-4≥0，
解得，
x+y≥2+2√2，或x+y≤2-2√2(舍).
于是再依柯西不等式得
x²+y²
=x²/1+y²/1
≥(x+y)²/(1+1)
≥(2+2√2)²/2
=6+4√2.
以上几个不等号取等条件相同，
都是x=y，
∴x=y=1+√2时，
x²+y²最小值为6+4√2。
若无x>0、y>0限制，则x=y=1-√2时，
则x²+y²最小值为6-4√2，楼主自己动手吧！
本题目如用数形结合法，则更简单。
依均值不等式得
x+y+1=xy≤[(x+y)/2]²，
即(x+y)²-4(x+y)-4≥0，
解得，
x+y≥2+2√2，或x+y≤2-2√2(舍).
于是再依柯西不等式得
x²+y²
=x²/1+y²/1
≥(x+y)²/(1+1)
≥(2+2√2)²/2
=6+4√2.
以上几个不等号取等条件相同，
都是x=y，
∴x=y=1+√2时，
x²+y²最小值为6+4√2。
若无x>0、y>0限制，则x=y=1-√2时，
则x²+y²最小值为6-4√2，楼主自己动手吧！
本题目如用数形结合法，则更简单。
追问
亲，你用数形结合证一下呗
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
负四分之五
追问
过程呢
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
x,y正，10...
更多追问追答
追问
过程
追答
一个为2，一个为3
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
更多回答（2）
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
