Question

若a为整数，则a^3- a能被6整除吗？

请作出判断，并说明理由。

Answer 1

a^3-a=a(a^2-1)=a(a+1)(a-1)
1.若a=0，则原式可被6整除
设n为正整数
2.若a=3n，则原式=3n(3n+1)(3n-1)
(1)若n为奇数，则3n+1和3n-1为偶数，可以被2整除，3n可以被3整除，原式可被6整除
(2)若n为偶数，则3n可以被6整除，原式可被6整除
3.若a=3n+1，则原式=(3n+1)(3n+2)(3n)
(1)若n为奇数，则3n+1为偶数，可以被2整除，3n可以被3整除，原式可被6整除
(2)若n为偶数，则3n可以被6整除，原式可被6整除
4.若a=3n+2，则原式=(3n+2)(3n+3)(3n+1)
(1)若n为奇数，则3n+1和3n+3为偶数，可以被2整除，3n+3可以被3整除，原式可被6整除
(2)若n为偶数，则3n+3可以被3整除，3n+2可以被2整除，原式可被6整除
综上所述，a^3-a能被6整除