Question

一道很难的几何题

22．（本题满分13分）
连结 △ABC的各边中点得到一个新的 △A1B1C1又连结 △A1B1C1的各边中点得到 △A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：A（0，0）B（3，0）C（2，2）
已知
（1）求这一系列三角形趋向于一个点M
的坐标；
（2）如图13，分别求出经过 ABC三点的
抛物线解析式和经过A1B1C1 三点的抛物线
解析式；
（3）设两抛物线的交点分别为 、 E，F
问：△EFC1 与C2 的关系是什么？

Answer 1

不好意思昨天心烦没注意到坐标
1
容易看出，这一系列三角形一定趋向于△ABC的中心。
即是顶点坐标的平均值:( (0+3+2)/3,(0+0+2)/3 )
即点M坐标是(5/3,2/3)
2
我没看见图；
给你一个思路：
将三角灶缓形顶点坐标代入抛物线标准方程
y=ax^2+bx+c
求出关于a,b,c的三元一次方程组.
确定a,b,c值.
两个抛物线解析式都这么作.
得出
经过ABC三点的抛物线解析式:y=-x^2+3x
经过A1B1C1三点的抛物线解析枯辩腔式:y=x^2-3x/2+3/2
<由于时间关系,我就直接引用楼下的结果了.楼主需要亲自算一遍>

3
将上面求出的两个抛物线解析式取等,联立,即
ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'
即y=-x^2+3x=x^2-3x/2+3/2
应该能求出两个解.则这两个解分别是E和F的横坐标.
这样根据线性规划能判断出△EFC1 与C2 的关系:
如果C2的横坐标大于或小于△EFC1 的所有顶点横坐标,则说明C2在△EFC1 外.
如果不是这样,则:
E,F和C1坐没衫标都知道了;则根据两点式方程求出△EFC1 三边所在直线的方程.
将C2的横坐标分别代入这三个直线方程,
①如果求出的结果全大于或小于C2的纵坐标,则说明C2在△EFC1 外.
②如果求出的结果中有一至两个等于C2的纵坐标,则说明C2在△EFC1 的边上,甚至顶点上.
③如果求出的结果不全大于或小于C2的纵坐标,则说明C2在△EFC1 内.

Answer 2

1 M(5/搭链磨3,2/唤州3)
2 y=-x^2+3x
y=x^2-3x/2+3/2
3c2在三角知斗形efc1之外