Question

已知f(x)=a*2^x+a-2/2^x+1(x属于R),若f(x)满足f(-x)=-f(x).判断函数的单调性,并加以证明.

Answer 1

f(x) = [a*2^x + a - 2]/(2^x + 1), 定义域为全体实数。

-[a*2^x + a - 2]/(2^x + 1) = -f(x) = f(-x) = [a*2^(-x) + a - 2]/[2^(-x) + 1] = [a + a*2^x - 2^(x+1)]/(2^x + 1),

2 - a - a*2^x = a + a*2^x - 2^(x+1)
2 + 2^(x+1) = 2a + 2a*2^x = (2a) + a*2^(x+1) 恒成立。。

令x=0,有，
2 + 2 = 2a + 2a ,
a = 1.

f(x) = [2^x -1]/(2^x + 1) = [2^x + 1-2]/(2^x + 1) = 1 - 2/(2^x + 1).
因，g(x)=2^x单调递增，因此，h(x) = 2/(2^x + 1) 单调递减。
f(x) = 1 - 2/(2^x + 1) 单调递增。