Question

正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则此球的体积为______

正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则此球的体积为______．

Answer 1

如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，
∵正四棱锥P-ABCD中AB=2，PA=

6

，
∴AO'=

2

2

AB=

2

，可得PO'=

PA2?AO′2

=2，OO'=PO'-PO=2-R．
∵在Rt△AOO'中，AO²=AO'²+OO'²，
∴R²=（

2

）²+（2-R）²，解之得R=

3

2

，
因此可得外接球的体积V=

4

3

πR³=

4

3

π?(

3

2

)3=

9

2

π．
故答案为：

9

2

π