Question

（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{ a n }满足 ， (其中λ≠0且λ≠–1

（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{ a n }满足 ， (其中λ≠0且λ≠–1， n ∈N*)， 为数列{ a n }的前 项和．(1) 若 ，求 的值；(2) 求数列{ a n }的通项公式 ；(3) 当 时，数列{ a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） ；（2）数列{ a n }中存在 a 1 、 a 2 、 a 3 或 a 3 、 a 2 、 a 1 成等差数列。

试题分析：(1) 令 ，得到 ，令 ，得到 。…………2分 由 ，计算得 ．……………………………………………………4分 (2) 由题意 ，可得： ，所以有 ，又 ，……………………5分 得到： ，故数列 从第二项起是等比数列。……………7分 又因为 ，所以 n ≥2时， ……………………………8分 所以数列{ a n }的通项 …………………………………10分 (3) 因为   所以 ……………………………………11分 假设数列{ a n }中存在三项 a m 、a k 、a p 成等差数列， ①不防设 m > k > p ≥2，因为当 n ≥2时，数列{ a n }单调递增，所以2 a k =a m +a p 即：2´( )´4 k –2 = ´4 m –2 + ´4 p –2 ，化简得：2´4 k - p = 4 m – p +1 即2 2 k– 2 p +1 =2 2 m –2 p +1，若此式成立，必有：2 m – 2 p =0且2 k –2 p +1=1， 故有： m=p=k ，和题设矛盾………………………………………………………………14分 ②假设存在成等差数列的三项中包含 a 1 时， 不妨设 m =1， k > p ≥2且 a k > a p ，所以2 a p = a 1 + a k ， 2´( )´4 p –2 = –   + ( )´4 k –2 ，所以2´4 p– 2 = –2+4 k –2 ，即2 2 p –4 = 2 2 k –5 – 1 因为 k > p ≥ 2，所以当且仅当 k =3且 p =2时成立………………………………………16分 因此，数列{ a n }中存在 a 1 、 a 2 、 a 3 或 a 3 、 a 2 、 a 1 成等差数列……………………………18分 点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力及考查了学生通过已知条件分析问题和解决问题的能力．题目较难。