Question

如图，在直角梯形ABCP中，AP ∥ BC，AP⊥AB，AB=BC= 1 2 AP ，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD

如图，在直角梯形ABCP中，AP ∥ BC，AP⊥AB，AB=BC= 1 2 AP ，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD，（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP ∥ 平面EFG．

Answer 1

证明：（I）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF ∥ CD， ∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D ∴CD⊥平面PAD， ∴EF⊥平面PAD， ∵EF?平面EFG， ∴平面EFG⊥平面PAD；  （II）∵G为BC的中点，F为PD的中点， ∴GF ∥ BP ∵GF?平面PAB，BP?平面PAB， ∴GF ∥ 平面PAB， 由（I）知，EF ∥ DC ∵AB ∥ DC，∴EF ∥ AB ∵EF?平面PAB，AB?平面PAB， ∴EF ∥ 平面PAB， ∵EF∩GF=F ∴平面EFG ∥ 平面PAB ∵PA?平面PAB ∴AP ∥ 平面EFG．