Question

等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S2n/Sn=3,则S3n/S2n=?

Answer 1

解:设等比数列{an}的公比为q,则其和sn,s2n,s3n之间有以下关系:
sn,s2n-sn,s3n-s2n成等比数列,公比为q^n.
证明:先证明一个更一般的通项公式.在等比数列中,
an=a1q^(n-1)
am=a1q^(m-1)
两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m).
s2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n
=sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=sn+(a1+a2+...+an)q^n=sn+snq^n
∴(s2n-sn)/sn=q^n.
同理,s3n=s2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]
=s2n+[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)
=s2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n
=s2n+[s2n-sn}q^n.
∴(s3n-s2n)/(s2n-sn)=q^n.
∴(s2n-sn)/sn=(s3n-s2n)/(s2n-sn).即(s2n-sn)^2=sn(s3n-s2n).故证.