Question

怎样求函数的左右极限

Answer 1

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个左（右）邻域内有定义，记 $x$ 从左（右）趋近于 $x_0$，则：
左极限 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$：若当 $x$ 从 $x_0$ 左侧趋近于 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 趋近于某个有限数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to x_0^-$ 时的左极限，记为 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$。
右极限 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$：若当 $x$ 从 $x_0$ 右侧趋近于 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 趋近于某个有限数 $B$，则称 $B$ 为 $f(x)$ 当 $x\to x_0^+$ 时的右极限，记为 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=B$。
求解左右极限的方法：

直接代入：当 $x_0$ 为函数的定义域内的点时，可直接代入 $x_0$，求出函数在 $x_0$ 处的函数值作为左右极限。

区间逼近法：当 $x_0$ 为函数的间断点时，先用 $x_0$ 的左右两侧相邻点的函数值来逼近左右极限。

奇偶性结论法：当函数具有奇偶性时，可以根据奇偶性结论来判断左右极限是否存在。

夹逼定理：当函数在 $x_0$ 的某个左（右）邻域内存在两个函数 $g(x)$ 和 $h(x)$，满足 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，且 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=L$，则 $\displaystyle\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$。