已知∠A=120°,AB=a,AC=b, BC=4,求3a+2b最小值
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3a+2b取最小值只能是在A和B重合的时候3a+2b=8，但此时ABC不是三角形
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由题意可得
(asin60°)²+(acos60°+b)²=16
3a²/4+a²/4+b²+ab=16
a²+b²+ab=16
设3a+2b=t
a=(t-2b)/3
(t²+4b²-4bt)/9+b²+(bt-2b²)/3=16
t²+4b²-4bt+9b²+3bt-6b²=144
7b²-tb+t²-144=0
Δ=t²-28(t²-144)≥0（t＞0）
-27t²+28×144≥0
即t²≤28×144/27
t≤24√（7/27）
∴3a+2b的最大值为24√（7/27）
(asin60°)²+(acos60°+b)²=16
3a²/4+a²/4+b²+ab=16
a²+b²+ab=16
设3a+2b=t
a=(t-2b)/3
(t²+4b²-4bt)/9+b²+(bt-2b²)/3=16
t²+4b²-4bt+9b²+3bt-6b²=144
7b²-tb+t²-144=0
Δ=t²-28(t²-144)≥0（t＞0）
-27t²+28×144≥0
即t²≤28×144/27
t≤24√（7/27）
∴3a+2b的最大值为24√（7/27）
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如题，可知：
（a^2+b^2-4^2）/2ab=cos120°
即（a^2+b^2）/2ab-8/ab=-1/2
8/ab-（a/2b+b/2a）=1/2
16/ab-a/b-b/a-1=0，
据上式，可以均值不等式求得3a+2b最小值。
（a^2+b^2-4^2）/2ab=cos120°
即（a^2+b^2）/2ab-8/ab=-1/2
8/ab-（a/2b+b/2a）=1/2
16/ab-a/b-b/a-1=0，
据上式，可以均值不等式求得3a+2b最小值。
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