设函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).数列{a

设函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).数列{an}满足f(an+1)=1f(?2?an)(n∈N... 设函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y).数列{an}满足f(an+1)=1f(?2?an)(n∈N*).(Ⅰ)求f(0)的值,判断并证明函数f(x)的单调性;(Ⅱ)如果存在t、s∈N*,s≠t,使得点(t,as)、(s,at)都在直线y=kx-1上,试判断是否存在自然数M,当n>M时,an>0恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由;(Ⅲ)若a1=f(0),不等式1an+1+1an+2+…+1a2n>1235(1+logf(1)x)对不小于2的正整数恒成立,求x的取值范围. 展开
 我来答
嚣张F稝Ym噈
推荐于2016-11-04 · TA获得超过184个赞
知道答主
回答量:106
采纳率:0%
帮助的人:153万
展开全部
(Ⅰ)x,y∈R,f(x+y)=f(x)?f(y),x<0时,f(x)>1
令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1∴f(0)=1…(2分)
若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故f(x)=
1
f(?x)
∈(0,1)
…(3分)
任取x1<x2,f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1
∵x2-x1>0∴0<f(x2-x1)<1∴f(x2)<f(x1
故f(x)在R上减函数…(4分)
(Ⅱ)f(an+1)=
1
f(?2?an)
=f(2+an)
由f(x)单调性得:an+1=an+2
故{an}是等差数列,an=a1+2(n-1)…(5分)
∵存在t,s∈N*,使得(t,as)和(s,at)都在y=kx-1上,
∴as=kt-1,①at=ks-1,②
①-②得as-at=k(t-s).
又as=a1+2(s-1),at=a1+2(t-1),故as-at=-2(t-s),
∵s≠t,∴k=-2…(6分)
①+②,得as+at=-2(t+s)-2,
又as+at=a1+2(s-1)+a1+2(t-1)
=2a1+2(s+t)-4,
∴2a1+2(s+t)-4=-2(t+s)-2
∴a1=-2(t+s)+1<0,∴an=-2(t+s)-1+2n
即数列{an}是首项为负,公差为正的等差数列,且全为奇数,…(7分)
∴一定存在一个自然数M,使
aM<0
aM+1>0
?2(t+s)?1+2M<0
?2(t+s)?1+2M+2>0

解得t+s-
1
2
<M<t+s+
1
2

∵M∈N,∴M=t+s,
即存在自然数M=t+s,使得当n>M时,an>0恒成立.…(9分)
(Ⅲ)a1=f(0)=1,由(Ⅱ)  an=2n-1
bn
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
,则bn+1
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n+2
bn+1?bn
1
a2n+1
+
1
a2n+2
?
1
an+1
1
4n+1
+
1
4n+3
?
1
2n+1
=
1
(4n+1)(4n+3)(2n+1)
>0

∴{bn}是递增数列…(11分)
当n≥2时,(bn)minb2
1
a3
+
1
a4
1
5
+
1
7
12
35
…(12分)
12
35
12
35
(1+logf(1)x)

即logf(1)x<0而0<f(1)<1,故x的取值范围是(1,+∞)…(14分)
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式