Question

已知函数f(x)=ln(ax+1)+(1-x)/(1+x),x>=0,a>0

已知函数f(x)=ln(ax+1)+(1-x)/(1+x),x>=0,a>0
1.若f(x)在x=1处取得极值，求a
2.求f(x)的单调区间
3.若f(x)的最小值为1，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=ln(ax+1)+(1-x)/(1+x)
=ln(ax+1)+2/(1+x)-1,
(1)f'(x)=a/(ax+1)-2/(1+x)^2,
f(x)在x=1处取得极值,得f'(1)=0,
有a=1;
(2)设f'(x)=a/(ax+1)-2/(1+x)^2>0
有ax^2>2-a,
若a>=2,则f'(x)>0恒成立，f(x)在[0,+∝)上递增
若0<a<2,则x>√[(2-a)/a],f'(x)>0恒成立，
f(x)在（√[(2-a)/a],,+∝)上递增
设f'(x)=a/(ax+1)-2/(1+x)^2<0,
仿上讨论；
(3)f(x)的最小值只能在x=0或极小值点处取得，求出相应的函数值，令为1，得出a.

Answer 2

解：（1）f′(x)=a ax+1 -2 (1+x)2 =ax2+a-2 (ax+1)(1+x)2 ，
∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0
即 a+a-2=0，解得 a=1
（2）f′(x)=ax2+a-2 (ax+1)(1+x)2 ，
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得x＞ 2-a a 由f′(x)＜0解得x＜ 2-a a
∴f（x）的单调减区间为(0， 2-a a )，单调增区间为( 2-a a ，+∞ )
（3）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1
当0＜a＜2时，由（II）②知，f(x)在x= 2-a a 处取得最小值f( 2-a a )＜f(0)=1，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）

Answer 3

1.对f(x)求导得
f'(x)=a/(ax+1)-2/(x+1)^2
取得极值时f'(x)=0
所以f'(1)=0解得a=1

Answer 4

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