Question

A为n阶可逆对称矩阵,B为n阶对称矩阵,当I+AB可逆时,证明:(I+AB)的逆乘A为对称矩阵

Answer 1

提示: 只需证明 [ (I+AB)^{-1}A ]^{-1} 对称

追问

求详细过程，谢谢

追答

如果提示看懂了应该就会做了
如果提示看不懂就好好问
直接伸手要详细过程的话——没有

Answer 2

设S=(I+AB)^(-1)*A，则S^(-1)=A^(-1)*(I+AB)=A^(-1)+B，因此(S^(-1))^T=(A^(-1)+B)^T=(A^(-1))^T+B^T=A^(-1)+B=S^(-1)，即S^(-1)为可逆矩阵。
又S^(-1)*S=I，所以(S^(-1)*S)^T=I^T=I，即I=S^T*(S^(-1))^T=S^T*S^(-1)，两边右乘S得：S=S^T，即S为对称矩阵，证明完毕。