Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，侧面APD为等腰直角三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱

如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，侧面APD为等腰直角三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PC上不同于端点的一点．（1）求证：PA⊥DE：（2）设AD=2BC=2，CD= ，求三棱锥D﹣PBC的高．

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Answer 1

（1）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD， ∴DC⊥平面PAD ∵PA 平面PAD， ∴DC⊥PA ∵PA⊥PD，PD∩DC=D， ∴PA⊥平面PDC∵DE 平面PDC， ∴PA⊥DE； （2）作PF⊥AD，F为垂足，则F为AD中点，且PF=1，连接BF ∵PF⊥AD，平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD， ∴PF⊥底面ABCD， ∴PF⊥BF ∵BC∥FD，BC=FD， ∴四边形BCDF是平行四边形 ∵BF=CD= ， ∴PB=2 ∵BF∥CD，AD⊥CD， ∴AD⊥BF ∵AD⊥PF，BF∩PF=F ∴AD⊥面PFB， ∴BC⊥面PFB作FH⊥PB，垂足为H，由FH 面PFB，可得FH⊥BC ∴FH⊥面PBC， ∴FH的长度为F到面PBC的距离 ∵FD∥BC，BC 面PBC，FD 面PBC ∴FD∥面PBC 设棱锥D﹣PBC的高为h， ∴h=FH 由PF·FB=PB·FH，得FH= ∴三棱锥D﹣PBC的高为