Question

设Ω是由平面z=0,x+y-z=0,x-y-z=0及x=1围成的区域,则∫∫∫xy^2dV=多少

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

这是柱面、锥面与z=0所围区域，你需要自己会画图，这个立体在锥面之内，柱面之外。
本题最简单的方法是截面法（先2后1），先做二重积分，再对z作定积分。
用z平面截立体，所得截面为一圆环Dz：1≤x²+y²≤4-z²
当x²+y²=1时，锥面中的z=√3，因此z的范围是：0→√3
下面首先在Dz上作二重积分，然后再对z做定积分：
∫∫∫zdv
=∫[0→√3]zdz ∫∫(Dz) dxdy 其中Dz：1≤x²+y²≤4-z²
这个二重积分很简单，由于被积函数为1，积分结果就是圆环的面积π(4-z²-1)=π(3-z²)
=π∫[0→√3] z(3-z²) dz
=π∫[0→√3] (3z-z³) dz
=π[(3/2)z²-(1/4)z^4] |[0→√3]
=π(9/2-9/4)
=9π/4