Question

已知函数f(x)=arctan(1/x)证明：当x＞0时 恒有f(x)+f(1/x)=π/2

求详细过程谢谢

Answer 1

用导数是比较简单的

追问

第一问为什么要写g(x)为常值函数
第一问这里到最后都不明白

追答

导数为零这个可以理解吧

导数为零也就代表着该函数的变化率为零

所以是一个常值

Answer 2

设f(x)=arctanx+arctan1/x,f(1)=arctan(1)+arctan(1)=π/2
f'(x)=1/(1+x^2)+1/(1+(1/x)^2))*(-1/(x^2))=0
对任意a>0,f(x)在[a,1](或[1,a])上连续,在(a,1)(或(1,a))上可导.
根据中值定理：存在u,满足u在a与1之间,使得f'(u)=(f(a)-f(1))/(a-1)=0->f(a)=f(1)=π/2
即对任意a>0,满足f(a)=π/2