Question

向量、矩阵、线性变换的通俗理解

Answer 1

比如一个存放苹果重量的空间，里面放了所有的自然数来表达苹果的重量。
假设有一个苹果叫A，A的重量是一个不会改变的事实，但是描述这个苹果重量的方式却有很多种，每一种描述都是苹果重量的一个测写。
1000g和1kg是一个意思，都真实表达了苹果的重量。
但是我们知道1000g的数值是1kg的1000倍，kg的单位是g的1000倍。

所以单位变大时，数值变小，呈反比。

如果用数值和单位的乘法来表示空间的元素：

在一维的世界里非常轻松的就能理解，当转换成二维世界呢？
如果要表达，地图上的某一元素（某一点），必须使用2维来表示，类似北纬东经这样表示。假设用（x，y）表示某一点。那么：

假设，现在用一个1米x1米的纸张来表达整个地球，选择这个纸张的中心点为原点，然后1厘米为单位。把整个地球分为100x100个方格。

此时（30，40）就表示（30厘米，40厘米）等于（30x厘米，40x厘米）

那么我们按照一维的思路来分析。30是距离，厘米是单位，这个元素在x单位下的投影到原点的距离为30。

利用勾股定理我们可以算出来 这个距离是50，单位是厘米。
向量（x，y）本质上是向量（x，0）和向量（0，y）的和。
两个向量求和就是对应元素求和。所以用（x，y）表示两个向量。

向量A+B求和的本质是某个东西，沿着A向量的方向走一定距离后再沿着B向量走一定距离。最终抵达新的位置。

当然人们可以定义一个单位向量为（3，4），这样影响的是距离。
（3，4）的本质是（3，0）+（0，4）。
我们可以用矩阵表示
3 0
0 4
这样的单位向量，其实两个方向还是彼此垂直的。

如何表达一个单位向量是彼此不垂直的空间呢？
3 4
0 4

这样可以表达为：
用（3，4）这个向量来表达一个方向作为x轴的单位投影，按勾股定理计算可知距离为5。用（0，4）这个向量来表达另一个方向作为y轴的单位投影。
则两个方向的夹角是53度，不再是原本的90度垂直了。

CA = VB，求V？
当然也可以单位在前，数值在后来表示。